含绝对值、分段、根号、复合函数的可导性判断

核心思想： 本质上都归结为两件事：

先把函数在考察点附近写成左右两段；
用导数定义或等价的高阶近似，比较左右极限是否一致。

下面按考研常考框架整理。

1. 最基本的总原则

函数在 (x_0) 处可导，等价于：

f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}

这个极限要存在，必须满足：

左极限存在
右极限存在
两者相等

所以所有“不可导判断题”，本质都是在查：

有没有尖角
有没有折点
有没有左右结构不一致
有没有某一边变化太快

2. 含绝对值函数的通用处理法

2.1 先分左右

|x-x_0|= \begin{cases} x-x_0, & x>x_0 \ -(x-x_0), & x<x_0 \end{cases}

所以凡是有绝对值，先考虑：

左边表达式
右边表达式

2.2 绝对值本身的结论

(|x|) 在 0 处不可导
(|x|^a)：
- (a>1)：在 0 处通常可导，且导数为 0
- (a=1)：不可导
- (0<a<1)：不可导

这是考研里非常常用的“量级判断”。

3. 用泰勒展开做“量级判断”

这是数一里最重要的推广。

在 0 附近常用：

\sin t = t + o(t) ] [ \cos t = 1 - \frac{t^2}{2} + o(t^2) ] [ e^t = 1 + t + o(t) ] [ \ln(1+t) = t + o(t)

把 (t) 换成 (|x|)、 $\sqrt{|x|}$ 、(x^2) 等，就能判断导数。

例子

$\sin|x| \sim |x|$ ，所以它和 (|x|) 同阶，0 处一般不可导。
$|x|\sin|x| \sim |x|\cdot|x| = x^2$ ，所以它被压平了，0 处可导。
(\cos\sqrt{|x|} = 1 - \frac{|x|}{2} + o(|x|))，因此除以 (x) 后左右会分裂，不可导。

4. 考研常见题型分类

4.1 直接判别可导性

常问：

哪些函数在某点可导
哪些参数取值使其可导

做法：

先算函数值
再算左右导数
或用展开看主导项

4.2 分段函数拼接点可导

若

f(x)= \begin{cases} f_1(x), & x \le x_0 \ f_2(x), & x > x_0 \end{cases}

可导必须同时满足：

连续
左导数 = 右导数

很多题就是通过连续条件先解参数，再用导数条件再解一次。

4.3 含 (|x|) 的复合函数

典型形式：

(f(|x|))
(|f(x)|)
(f(|g(x)|))

判断思路：

看内层在考察点附近是否改变符号
若会改变符号，左右表达式往往不同
若外层函数是偶函数，常能化简

例如：

\cos|x| = \cos x

因为 $\cos$ 是偶函数。

但

\sin|x| \neq \sin x

因为 $\sin$ 不是偶函数。

5. 一个很重要的推广：可导性的“阶数”判断

考研里经常不是只问“可导吗”，而是问“可导到几阶”。

典型规则

若

f(x) \sim C|x|^\alpha

在 (x=0) 附近，则：

$\alpha>1$ ：通常可导且 (f'(0)=0)
$\alpha>2$ ：通常二阶也更稳
$\alpha$ 越大，越光滑

更严谨地说，要看左右写法是否一致，但这是很有用的快速判断。

6. 这题对应的数一核心知识点

这道题覆盖了四个高频点：

6.1 绝对值导致分段

(|x|) 是最基础的折点来源。

6.2 正弦的小量等价

$\sin t \sim t$ ，所以 $\sin|x| \sim |x|$ 。

6.3 余弦的二阶展开

(\cos t = 1 - \fract(2){2} + o(t^2))，所以像 $\cos\sqrt{|x|}$ 这种要特别小心。

6.4 左右导数比较

只要左右不一样，就不可导。

7. 考研数一的统一做题模板

遇到这类题，按下面走：

第一步

先找考察点 (x_0) 的函数值 (f(x_0))

第二步

把函数在 (x_0) 左右分别写出来

第三步

看主导项

$\sin t \sim t$
$\cos t \sim 1 - \frac{t^2}{2}$
$\sqrt{|x|}$ 会放大折点问题

第四步

直接算

\lim_{x\to x_0^-}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0},\qquad \lim_{x\to x_0^+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}

第五步

比较左右极限

相等：可导
不等：不可导

8. 一句话总括

这类题考的不是“记结论”，而是：

绝对值把函数切成左右两套表达，考研判断可导，就是比较这两套表达在考察点附近的主导项是否一致。